tutorial. 向量表示：分量与显式偏导[math-0005]

x、y、z是独立坐标，a是常数参数。三个Semantic分量按空间顺序组成向量v。这里Formula reader只负责sin(z)这个方便的短写；其结果仍是Semantic值。

$\left(\begin{array}{c}{x}^2\\ y+a\\ \sin \left(z\right)\end{array}\right)$

term: (components (^ (var x) (num "2")) (+ (var y) (var a)) (sin (var z)))nspace requirement: ((space (var x) (var y) (var z)))

math命令用当前布局把向量渲染为列；term保留components的三个标量表达式；requirement记住它所依赖的Cartesian空间。声明没有自动进入所有计算，所以仍要显式传入事实。

◆:partial只构造待计算的偏导项。它不会执行求导：

$\frac{\partial }{\partial x}\left(x^3+a\times x\times y\right)$

(partial (+ (^ (var x) (num "3")) (* (var a) (* (var x) (var y)))) (var x))

要执行偏导，调用pipeline：

$a\times y+3x^2$

输出对应3*x² + a*y。math-partial的坐标参数和被求导表达式都是Semantic值；空间与参数作为假设提供。对y或z求偏导会分别得到a*x和0。

若只知道a是scalar，系统无法推出它对x的导数为零。参数值的声明明确表达它相对独立坐标保持不变：

result requirements: ((differentiable (+ (^ (var x) (num "3")) (* (var a) (* (var x) (var y))))) (coordinate (var x)) (coordinate (var y)) (parameter (var a)) (differentiable (^ (var x) (num "3"))) (differentiable (var x)) (differentiable (* (var a) (* (var x) (var y)))) (differentiable (var a)) (differentiable (* (var x) (var y))) (differentiable (var y)))

偏导结果保留来源值的语义条件。之后复用结果时，调用者仍须提供适合当前计算的事实；不会因为以前某次计算声明过参数，就永久污染全局状态。

Notation列布局不携带向量语义：

这适合手工排版。若后续要计算div或curl，则应构造◆:components并附上有序space。

空间算子展示grad、div、curl和Laplacian的分量计算。多项式计算则将Semantic IR lower到专用多项式IR。