tutorial. 数学表示：Formula、Semantic与Notation[math-0001]

Grove的数学接口把“作者写下的公式”“公式表达的数学对象”和“对象如何排版”分开。Formula DSL读入方便的数学文本；Semantic DSL构造可计算对象；Notation DSL描述展示结构。低层计算API接收Semantic值，Formula façade提供自动读取文本的便捷入口。

example. Notation：明确写出排版结构[#71]

这一组Maxwell方程用对齐点、向量箭头和分数构造排版：

\begin{matrix} \nabla \cdot \vec{D} & = ρ \\ \nabla \times \vec{E} & = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{B} & = 0 \\ \nabla \times \vec{H} & = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{matrix}

◇:align、◇:vec与◇:frac构造的是Notation节点。它们能生成MathML，但不会因此获得向量类型或求导语义。需要证明公式时，应该使用Semantic表达式和计算pass。

example. Semantic：构造可计算的值[#72]

下面的Scheme代码建立多项式。每个构造器都接收Semantic值；数值用精确有理数表示：

@(define x (◆:coordinate 'x))
  @(define polynomial
    (◆:add
      (◆:power x (◆:constant 3))
      (◆:multiply (◆:constant 2) x)))

  @math[polynomial]

◆:coordinate返回一个携带“独立坐标”声明的数学值；◆:constant建立精确常数；◆:power和◆:multiply构造子项；◆:add组合它们。最后的math命令只显示这个值，不执行化简。

表达式的内部term可检查为sexp：

(+ (^ (var x) (num "3")) (* (num "2") (var x)))

它大致是(+ (^ (var x) (num "3")) (* (num "2") (var x)))。来源位置、显示偏好和声明保存在值的旁侧metadata中，不混进关系规则处理的term。

example. Formula：用文本作为另一种入口[#73]

写短公式时，Formula DSL更方便。φ:read读出Semantic值；同一个文本也可以交给φ:simplify这样的便捷包装：

@(define parsed (φ:read "x^3 + 2*x"))
  @(define formula-report
    (φ:differentiate parsed "x" #:assumptions (φ:assumptions "coordinate(x)")))
  @math[(math-report-result formula-report)]

Formula reader负责把文本解析一次。φ:differentiate是Formula façade：它将输入和坐标读为Semantic值，再调用核心计算API。若要使用底层API，则明确传入Semantic值和事实：

$3 x^{2} + 2$

底层入口也计算同一对象：

$3 x^{2} + 2$

核心math-differentiate不解析字符串，也不依赖Formula模块；它只消费数学值。这让文本文法可以独立演进，而计算保持稳定的输入契约。

remark. 可计算和可排版是不同能力[#74]

可以直接把Semantic值交给Notation包装：

(x^{3} + 2 x)

括号只影响排版偏好，不修改多项式term。相反，◆:group会把显式分组记录在Semantic值的展示属性中，数学等式仍基于term判断。排版节点不可以传进数学计算API。

使用建议[#75]

在文章中，Formula文本适合简短的手写表达式；Semantic构造器适合要复用、组合或交给低层计算的值；Notation构造器适合纯布局需求。代码示例和输出都是本页构建的一部分，而不是手工维护的副本。